Что значит "алгебраическое число"

число, удовлетворяющее алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами.

число а, удовлетворяющее алгебраическому уравнению a1an+ ... + акa +an+1 = 0, где n ³ 1, a1, ..., an, an+1 ≈ целые (рациональные) числа. Число a называется целым А. ч., если a1 = 1. Если многочлен f(x) = a1xn + ... + anx + an+1 не является произведением двух др. многочленов положительной степени с рациональными коэффициентом, то число n называется степенью А. ч. a. Простейшие А.ч. ≈ корни двучленного уравнения xn = а, где а ≈ рациональное число. Например, А. ч. будут рациональные числа, числа целыми А. ч. будут целые числа, числа С понятием А. ч. тесно связаны два больших направления в теории чисел.

1. Арифметика А. ч. (алгебраическая теория чисел), созданная Э. Куммером в середине 19 в., изучает свойства А. ч. Целые А. ч. обладают рядом свойств, аналогичных свойствам целых рациональных чисел, однако теорема об единственности разложения числа на простые множители не имеет места в теории целых А. ч. Для сохранения единственности разложения Куммер ввёл в рассмотрение т. н. «идеальные» числа (см. Идеал ).

2. Теория приближения А. ч. изучает степень приближения А. ч. рациональными числами или алгебраическими же числами. Первым результатом в этом направлении была теорема Ж. Лиувилля , показывающая, что А. ч. «плохо» приближаются рациональными числами, точнее: если a - А. ч. степени n, то при любых целых рациональных р и q имеет место неравенство [a - p/q] > C/qn, где С = С(a) > 0 ≈ постоянная, не зависящая от р и q, отсюда следует, что легко построить произвольное количество неалгебраических ≈ трансцендентных чисел .

   Лит.: Гекке Э., Лекции по теории алгебраических чисел, пер. с нем., М. ≈ Л., 1940; Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952; Боревич З. И., Шафаревич И. P., Теория чисел, М., 1964.

   А. А. Карацуба.

Алгебраи́ческое число́ над полем k — элемент алгебраического замыкания поля k, то есть корень многочлена (не равного тождественно нулю ) с коэффициентами из k.

Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел , то есть k = Q, в этом случае поле алгебраических чисел обычно обозначается A. Данная статья посвящена именно этим «рациональным алгебраическим числам». Поле A является подполем поля комплексных чисел .